圏論の雑感

朝8時くらいから夜まで自宅でプログラムのコードを書いていました。それから22時くらいにふらっと近くのバーのようなところでなぜか親子丼を食べて近くのファミレスへ行き、圏論についてスケッチをしていました。

 

圏論というのは数学の分野で、点と点をつなぐ矢印で構造を表すような分野です。これだけだと一見、なにが面白いのかわからないのですが、構造と構造の間の関係もまた構造間の矢印で書いたりすることで、異なる構造の間の関係等を探ることができるのです。

 

例えば、点をある状況として、その状況から違う状況へいたる何らかの行動があるとします。この行動を射と考える事ができます。結局は同じ状況にいたるけど行動としては異なる行動もありえます。こうして、様々な状況から状況への行動が網の目のようになったものが一つの圏です。

さて、ある状況(目的の状況)へいたる行動を考えます。もちろん、その目的の状況へいたる行動は幾つもあります。目的となる状況へ、圏にあるさまざまな状況からどのような行動をすればいたる事ができるのかということを考えます。つまり、色々な状況から目的の状況へいたる行動にはどんなものかを考え、その行動の間の関係を考えるということです。

実は、これは一つの状況から目的の状況へいたる行動達(いわばある状況からの攻略ルート)を一つの点と捉え、行動の間の関係(異なる状況からの攻略ルート間の関係)を射と捉えれば、これも圏となっています。そして、最初に考えた状況と行動の圏から行動と行動間の圏を考えるという操作を関手と呼びます。ここで考えた関手はHom関手と呼ばれる関手になっています。

少し不正確な言い方でしたが、身近なものでイメージを捉えることができることがわかると思います。

これが何の役に立つのか、というと、構造がみいだされるすべての状況で、物を理解するのに役に立つのではないでしょうか。恐らく、日常や労働の中にも圏は潜んでいると思われます。

 

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